Otros Metodos...

Integración directa

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.

Ejemplo

Calcular la integral .

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de es . Por tanto:

Ejemplo

Calcular la integral .

Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo, la solución del problema es .

No obstante, puesto que la función esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, asi que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)

Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Procedimiento práctico

Supongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos con ():

(1)

Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :

Tenemos que por tanto derivando se obtiene

Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo :

(límite inferior)

(límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

2. 2. De interés

Supongamos ahora que la integral a resolver es:

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: y la sustitución conveniente resulta ser :

,

Entonces

por otra parte o

la integral queda después de dicha sustitución:

Integración por fracciones parciales

Integración Mediante Fracciones Parciales

La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los metodos de Integración mas facil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.

Definición: Se llama función racional a toda función del tipo

En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado
Ejemplo:

 

¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?

Veamos los siguientes casos:
CASO 1: Factores Lineales Distintos.

A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccion racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar.

Ejemplo:
luego nos queda la siguiente igualdad
o tambien lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B
Haciendo un Sistema.
A + B = 02A - 2B = 1 , las soluciones son :
Quedando de esta manera:
con lo cual

CASO 2: Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b,que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

EJEMPLO:

Calculemos la siguente integral

Pero: Tendremos

Amplificando por

Las Soluciones son:

Nos queda:



CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.
A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar.
Ejemplo:
Calcular:

Con lo que se obtiene

de donde

luego los valores a encontrar son.
A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0



CASO 4: Factores cuadráticos Iguales
A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

siendo los valores de A y B constantes reales.

Ejemplo:
Calcular la siguente integral

tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el minimo común denominador tenemos

Donde los valores de las constantes son

A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1

De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

Esto es fracciones parciales, gracias.